Ejecute un script de shell desde el comando docker-compose, dentro del contenedor

Lo primero, estás copiando entrypoint.sh a $APP que pasó de sus argumentos de compilación pero no lo mencionó y, en segundo lugar, debe establecer el permiso para entrypoint.sh . Es mejor agregar estas tres líneas para que no necesite agregar command en el archivo docker-compose.

FROM python:3.6-alpine3.7
RUN apk add --no-cache --update \
    python3 python3-dev gcc \
    gfortran musl-dev \
    libffi-dev openssl-dev
RUN pip install --upgrade pip
ENV PYTHONUNBUFFERED 1
ENV APP /app
RUN ln -snf /usr/share/zoneinfo/$TZ /etc/localtime && echo $TZ > /etc/timezone
RUN mkdir $APP
WORKDIR $APP
ADD requirements.txt .
RUN pip install -r requirements.txt

COPY . .
# These line for /entrypoint.sh
COPY entrypoint.sh /entrypoint.sh
RUN chmod +x /entrypoint.sh
entrypoint "/entrypoint.sh"

docker compose para api será

  api:
    build: .
    container_name: app
    expose:
      - "5000"

o puede usar el suyo también funcionará bien

version: "2"

services:
  api:
    build: .
    container_name: app
    command: /bin/sh -c "entrypoint.sh"
    expose:
      - "5000"

Ahora también puede verificar con el comando de ejecución de la ventana acoplable.

docker run -it --rm myapp