¿Cómo obtener solo todos los ID de proceso en ejecución?

Usar formato de salida ps:

ps -A -o pid

El formato de salida del comando es la mejor opción. La opción o controla el formato de salida. Enumeré algunos de los argumentos a continuación, vea 'man ps' para el resto (para usar múltiples sería -o pid,cmd,flags ).

KEY   LONG         DESCRIPTION
   c     cmd          simple name of executable
   C     pcpu         cpu utilization
   f     flags        flags as in long format F field
   g     pgrp         process group ID
   G     tpgid        controlling tty process group ID
   j     cutime       cumulative user time
   J     cstime       cumulative system time
   k     utime        user time
   o     session      session ID
   p     pid          process ID

Awk o Cut sería mejor para obtener columnas:
En general, no querrá una expresión regular para seleccionar la primera columna, querrá canalizarla para cortar o awk para cortar la primera columna como:

ps ax | awk '{print $1}'

Regex es una opción, si no la mejor:
Si tuviera que usar expresiones regulares, podría ser algo como:

ps ax | perl -nle 'print $1 if /^ *([0-9]+)/'

$1 imprime solo lo que coincidió entre paréntesis. ^ ancla el al comienzo de la línea. El asterisco de espacio significa permitir caracteres de espacio opcionales antes del número. [0-9]+ significa uno o más dígitos. Pero no recomendaría expresiones regulares para esta tarea en particular, ¿ves por qué? :-)

ps ax | awk '{ print $1; }'

Usa la -o cambia para tener una salida en formato personalizado

ps -o pid

La mala manera de usar sed, como usted pidió explícitamente, puede ser

ps -ax | sed 's#^\( *[0-9]\+\) .*$#\1#'