Las definiciones de tipos que faltan (HANDLE etc.) no son su problema. Su problema es que Linux y Windows tienen API completamente diferentes, no puede simplemente esperar transferir uno al otro reemplazando algunas definiciones de tipo.
La parte completa de su código que depende de la plataforma debe ser reemplazada. Por lo tanto, su primer paso es aprender la API de Linux. La mejor forma de hacerlo es conseguir un libro sobre programación en Linux.
Además, Linux no proporciona una API predeterminada para la administración de ventanas como lo hace Windows, por lo que si está programando una aplicación gráfica, también debe elegir una biblioteca de ventanas.
No existe un "equivalente", por así decirlo, para windows.h en Linux, debe corregir sus errores caso por caso, o mejor, reescribir su código para Linux (si no es demasiado complicado).
Sin embargo, si ignoramos las API específicas de Windows, es posible que pueda corregir los errores de definición de tipo (DWORD, HANDLE, ...):
#ifndef DWORD
#define WINAPI
typedef unsigned long DWORD;
typedef short WCHAR;
typedef void * HANDLE;
#define MAX_PATH PATH_MAX
typedef unsigned char BYTE;
typedef unsigned short WORD;
typedef unsigned int BOOL;
#endif
código fuente typedef