Esto es viejo... pero pasé por el mismo dolor y aquí está mi solución.
Como puede ver, el registro es una alerta, no un error de bloqueo:
nginx: [alert] could not open error log file: open() "/var/log/nginx/error.log" failed (13: Permission denied)
No debería ser un problema :) A Nginx solo le gusta revisar ese archivo al inicio...
Solo usa -p opción. Algo como esto para iniciar Nginx localmente funciona para mí:
nginx -c /etc/nginx/nginx.conf -g 'daemon off;' -p /home/Foo/log/nginx
Es posible que deba dispararlo con sudo
sudo nginx -t