Prueba esto primero,
umount /dev/sdb1
chmod -R 0777 /mnt/external
luego montar con
mount /dev/sdb1 /mnt/external
o prueba
chmod -R 0777 /mnt/external
chmod -R 777 /mnt/external
No es necesario especificar el dispositivo. Cambias el directorio recursivamente.
Sin embargo, las unidades externas suelen estar formateadas con FAT32 o algún tipo de sistema de archivos compatible con Windows, que no tiene permisos POSIX/UNIX. Entonces este paso puede ser redundante.
¿Cómo está formateada su unidad?
¿Has intentado escribir en él como usuario no root?