El primer comando indica que /tmp está realmente en el mismo sistema de archivos que / (es decir, todo lo demás). Si su partición raíz está llena, es posible que otras cosas (como /var/log) estén ocupando espacio.
Una forma decente de encontrar cosas es hacer
du -sc * .[^.]* | sort -n
para encontrar qué directorios son grandes. Luego puede continuar con el cd en directorios inferiores y volver a ejecutar el comando para reducir las cosas.
En una distribución reciente:
du -sh /tmp/* | sort -h
En una distribución más antigua:
du -csm /tmp/* | sort -n
Compruebe si no se quedó sin inodos.
# df -i
Filesystem Inodes IUsed IFree IUse% Mounted on
/dev/sda3 1236992 1236992 0 100% /
tmpfs 1007716 1 1007715 1% /dev/shm
/dev/sda1 38456 45 38411 1% /boot