En Configuración de Putty> Ventana> Comportamiento, puede marcar una de las casillas para abrir el menú del sistema al presionar una determinada tecla (yo personalmente uso ALT-Espacio).
Con esta configuración en su lugar, puede presionar ALT-Espacio, luego escribir la tecla d para Duplicar sesión. Esto le permitirá abrir una nueva ventana de masilla sin necesidad de tocar el mouse.
No es una herramienta de línea de comandos, pero la encuentro extremadamente útil.
No existe una forma sencilla de emitir un comando en un host de Linux a través de ssh que indique al host de Windows dónde se originó la conexión ssh para generar una nueva instancia de Puty.
El host remoto sabe acerca de PuTTY solo que es un terminal capaz de ejecutar un cierto shell. No se supone que sepa cómo generar una nueva terminal en el cliente local.
Posiblemente, es posible crear una especie de secuencia de comandos (o buscar un clon de Windows Netcat) que escuchará un "ping" y generará una nueva Putty. La segunda parte de este "sistema" se comunicaría con el script de Windows a través de TCP desde el host remoto.
Si no quiere tocar la GUI, lo único que se me ocurre es usar un multiplexor de terminal como screen o tmux . Esto no le daría otra ventana GUI, pero podría tener múltiples ventanas/paneles dentro de cualquiera.