En mi caso, el problema fue que mysql intentó crear archivos temporales en /var/run/mysqld y ese directorio no existía. Resolví el problema creando el directorio manualmente y configurando permisos para él:
mkdir -p /var/run/mysqld
chown mysql:mysql /var/run/mysqld
¿Diferencia entre /var/log/messages, /var/log/syslog y /var/log/kern.log?
Administrar MySQL usando Systemd como usuario no root
CentOS / RHEL:Cómo rotar el archivo /var/log/wtmp y /var/log/btmp usando logrotate
Cómo ejecutar un archivo sh desde otro archivo sh
¿Cómo crear un archivo en Linux desde la ventana de terminal?
Cómo arreglar No puedo conectarme al servidor MySQL local a través del socket /var/run/mysqld/mysqld.sock (2)
Matar proceso por archivo pid
Deteniendo el servidor de la base de datos MySQL:mysqld falló
No se puede conectar al servidor MySQL local a través del socket '/var/run/mysqld/mysqld.sock' en Ubuntu 12.04.5 LTS
unix:///var/run/supervisor.sock no hay tal archivo
mysql no se inicia después de reubicar el directorio de datos